Trong chương trình môn Toán lớp 9, chúng ta được học về Vị trí tương đối của hai đường tròn. Để giúp các bạn học sinh nắm chắc kiến thức bài học, giải các bài tập có liên quan, chúng tôi thực hiện bài viết với những chia sẻ này. Mời Quý vị theo dõi nội dung:
Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn có thể xảy ra 3 trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) cắt nhau
Khi đó (O) và (O′) có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.
Hệ thức liên hệ R−r < OO′ < R+r
Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc
+) Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) tiếp xúc trong tại A.
Khi đó A nằm trên đường nối tâm và OO′ = R−r.
+) Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) tiếp xúc ngoài tại A.
Khi đó A nằm trên đường nối tâm và OO′ = R+r.
Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau
+) Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) ở ngoài nhau.
Ta có OO′ > R+r
+) Hai đường tròn đựng nhau
Ta có OO′<R−r
+) Hai đường tròn đồng tâm
Ta có OO′ = 0.
Một cách khái quát, để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta có thể dựa vào sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r được thể hiện qua bảng sau:
| Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với R>r | Số điểm chung |
Hệ thức giữa d và R,r |
| Hai đường tròn cắt nhau | 2 | R−r < d < R+r |
| Hai đường tròn tiếp xúc nhau | 1 |
|
| – Tiếp xúc ngoài | d = R+r | |
| – Tiếp xúc trong | d = R−r | |
| Hai đường tròn không giao nhau | 0 |
|
| – Ở ngoài nhau | d > R+r | |
| – (O) đựng (O′) | d <R−r | |
| – (O) và (O′) đồng tâm | d=0 |
Bài tập về vị trí tương đối của hai đường tròn
Để giúp Quý vị hiểu hơn về về Vị trí tương đối của hai đường tròn chúng tôi đưa ra một số bài tập và hướng dẫn giải:
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A(-1;1) và B(3;0). Vẽ các đường tròn (A;r) và (B;r’).
Khi r=3 và r’=1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Độ dài đoạn nối tâm d = AB = √(3+1)2 + 1 = √17 (1)
Tổng hai bán kính:
r + r’ = 3 + 1 = 4 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy √17 > 4 nên hai đường tròn không giao nhau; hai đường tròn (A) và (B) nằm ngoài nhau.
Bài tập 2:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R) cắt nhau tại M và N. Biết OO’=24cm, MN=10cm. Tính R.
Hướng dẫn giải:
Gọi giao điểm của OO’ và MN là I. Vì OM = ON =O’M =O’N = R nên tứ giác OMO’N là hình thoi
=> OO’ ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO’ và MN.
Do đó: IM = MN/2 = 5cm ; IO = OO’/2 = 12cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác MIO ta có:
R = OM = √(IM2 + IO2) = 13
Vậy R = 13(cm)
Bài tập 3:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O), N thuộc (O’). Biết R=9cm, R’= 4cm. Tính độ dài đoạn MN.
Hướng dẫn giải:
Ta có: OO’= OA + O’A = 9 + 4 =13(cm)
Kẻ OH ⊥ OM tại H
Suy ra tứ giác O’NMH là hình chữ nhật
Suy ra MH=O’N=4cm; MN=O’H
Suy ra OH=OM-MH=9-4=5(cm)
Áp dụng đình lí py-ta-go vào tam giác OO’H, ta có:
MN = O’H = √(OO’2 – OH2) = 12 (cm)
Vậy MN = 12cm.
